圆周运动加速度公式 [专题7:圆周运动]

专题7:圆周运动 参考答案 1.向心力有哪些主要特点? (1)大小:F向=ma向=m =mω2r=m r=m(2πn)2r (2)方向:总是沿半径方向指向圆心,方向时刻改变,是变力. (3)效果:产生向心加速度.仅改变速度的方向,不改变速度的大小. (4)产生:向心力是按效果命名的,不是性质力,它可以是某一个力,也可以 是某一个力沿某方向的分力,也可以是某几个力的合力. 题型1:描述匀速圆周运动的物理量及其关系 1.如图所示,在验证向心力公式的实验中,质量相同的钢球①放在A盘的边缘,钢球②放在B盘的边缘,A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮.a轮、b轮半径之比为1∶2,当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时,钢球①②受到的向心力之比为(  )  A.2∶1 B.4∶1 C.1∶4 D.8∶1 解析:本题考查圆周运动等知识.由题意“在同一皮带带动下匀速转动”,说明a、b两轮的线速度相等,即va=vb,又因a轮与A盘同轴,b轮与B盘同轴,角速度相等,联立并代入F=得到D项正确. 答案:D 2.无级变速在变速范围内任意连续地变换速度,性能优于传统的挡位变速,很多种高档汽车都应用了无级变速.如图4-2-6是截锥式无级变速模型示意图,两个锥轮之间有一个滚轮,主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动.以下判断中正确的是(  ) ①.当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从右向左移动时从动轮转速降低,滚轮从左向右移动时从动轮转速增加 ②.当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低,滚轮从右向左移动时从动轮转速增加 ③.当滚轮位于主动轮直径为D1、从动轮直径为D2的位置上时,则主动轮转速为n1、从动轮转速为n2之间的关系为:n2= ④.当滚轮位于主动轮直径为D1、从动轮直径为D2的位置上时,则主动轮转速为n1、从动轮转速为n2之间的关系为:n2= A . ①②正确 B . ③④正确 C . ①④正确 D . ②③正确 解析:设某一时刻,滚轮位于主动轮直径为D1、从动轮直径为D2的位置上,三个轮的轮缘的线速度相等,得n1D1=n2D2,即n2= ,故③选项正确,④错误;
当位于主动轮与从动轮之间的滚动轮从左向右移动时,D1变小,D2变大,在n1不变的情况下,n2变小,反之,当滚轮从右向左移动时,D1变大,D2变小,在n1不变的情况下,n2变大,故②正确,①错误 . 答案:D 在分析传动问题时,关键要抓住两点 1.固定在一起共轴转动的物体上各点的角速度相同. 2.不打滑的摩擦传动和皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等. 3.图示所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是(  )                               ①.从动轮做顺时针转动 ②.从动轮做逆时针转动 ③.从动轮的转速为n ④.从动轮的转速为n A.①③正确 B.②③正确 C.①④正确 D.②④正确 解析:本题考查的知识点是圆周运动.因为主动轮顺时针转动,从动轮通过皮带的摩擦力带动转动,所以从动轮逆时针转动,选项①错误②正确;
由于通过皮带传动,皮带与轮边缘接触处的速度相等,所以由2πnr1=2πn2r2,得从动轮的转速为n2=,选项③正确④错误. 答案:B 4.图是自行车传动机构的示意图,其中Ⅰ是大齿轮,Ⅱ是小齿轮,Ⅲ是后轮. (1)假设脚踏板的转速为n r/s,则大齿轮的角速度是________ rad/s. (2)要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大,除需要测量大齿轮Ⅰ的半径r1,小齿轮Ⅱ的半径r2外,还需要测量的物理量是________. (3)用上述量推导出自行车前进速度的表达式:________________. 解析:(1)大齿轮的角速度ω1=2πn. (2)对Ⅰ、Ⅱ两齿轮有ω1r1=ω2r2,设后轮半径为R,则自行车前进的速度v =ω2R=·R=.所以还需要测量的物理量是后轮的半径R. (3)v= 答案:(1)2πn (2)后轮的半径R (3)v= 题型2:匀速圆周运动的实例分析 圆周运动中动力学问题的解答方法 1.确定做圆周运动的物体作为研究对象. 2.明确运动情况,包括搞清楚运动的速率v、半径R及圆心O的位置等. 3.分析受力情况,对物体实际受力情况进行正确的分析,画出受力图, 确定指向圆心的合外力F(即提供向心力). 4.合理选用公式F=ma= 5.如图所示,固定的锥形漏斗内壁是光滑的,内壁上有两个质量相等的小球A和B,在各自不同的水平面做匀速圆周运动,以下说法正确的是(  ) A.vA>vB B.ωA>ωB C.aA>aB D.压力NA>NB 答案:A 6.小球m用长为L的悬线固定在O点,在O点正下方有一光滑圆钉C(如图所示).今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放,当悬线呈竖直状态且与钉相碰时下列说法错误的是( ) A.小球的角速度突然增大 B.小球的向心加速度突然增大 C.钉子的位置越靠近小球,线就越容易断 D.钉子的位置越远离小球,线就越容易断 【解析】 当绳竖直碰到钉子的瞬间,小球的速度不变,但转动半径减小,由知增大,选项A正确;由知,向心加速度变大,选项B正确;根据/r知,r越小,则悬线的拉力越大,悬线越容易断,选项C对D错. 【答案】D 7.随着经济的持续发展,人民生活水平的不断提高,近年来我国私家车数量快速增长,高级和一级公路的建设也正加速进行.为提高公路弯道部分的行车速度,防止发生侧滑,常将弯道部分设计成外高内低的斜面.如果某品牌汽车的质量为m,汽车行驶时弯道部分的半径为r,汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ,路面设计的倾角为θ,如图4-2-8所示.(重力加速度g取10 m/s2) (1)为使汽车转弯时不打滑,汽车行驶的最大速度是多少? (2)若取sin θ=,r=60 m,汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为μ=0.3,则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少? 解析:(1)汽车弯道处的运动可认为是匀速圆周运动,其轨道平面在水平面 内对汽车受力分析如图所示,竖直方向:Ncos θ=mg+fsinθ 水平方向:Nsin θ+fcos θ= 又f=μN, 可得v= (2)代入数据可得:v=14.6 m/s. 8.如图甲所示,一根细线上端固定在S点,下端连一小铁球A,让小铁球在水平面内做匀速圆周运动,此装置构成一圆锥摆(不计空气阻力).下列说法中正确的是(  ) A.小球做匀速圆周运动时,受到重力、绳子的拉力和向心力作用 B.小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于 (l为摆长) C.另有一个圆锥摆,摆长更大一点,两者悬点相同,如图4-2-19乙所示,如果改变两小球的角速度,使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动,则B球的角速度大于A球的角速度 D.如果两个小球的质量相等,则在图乙中两条细线受到的拉力相等 解析:如下图所示,小铁球做匀速圆周运动时,只受到重力和绳子的拉力,而向心力 是由重力和拉力的合力提供的,故A项错误.根据牛顿第二定律和向心力公式可得:mgtan θ=mlω2sin θ,即ω=.当小铁球做匀速圆周运动时,θ一定大于零,即cos θ一定小于1,因此,当小铁球做匀速圆周运动时角速度一定大于,故B项正确.设点S到点O的距离为h,则mgtan θ=mhω2tan θ,即ω=,若两圆锥摆的悬点相同,且两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动时,它们的角速度大小一定相等,即C项错误.如右上图所示,细线受到的拉力大小为T=,当两个小球的质量相等时,由于θA<θB,即cos θA>cos θB,所示A球受到的拉力小于B球受到的拉力,进而可以判断两条细线受到的拉力大小不相等,故D项错误. 答案:B 9.(2010·衡水模拟)如图所示,在竖直的转动轴上,a、b两点间距为40 cm,细线ac长50 cm,bc长30 cm,在c点系一质量为m的小球,在转动轴带着小球转动过程中,下列说法不正确的是(  ) A.转速小时,ac受拉力,bc松弛 B.bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mg C.bc拉直后转速增大,ac拉力不变 D.bc拉直后转速增大,ac拉力增大 10.铁路转弯处常竖立一速度标示牌,即火车以此速度大小行驶时,车轮边缘和内、外侧铁轨均无挤压作用.如果火车转弯时的速度小于标示速度,那么( ) A.外侧铁轨与轮缘间产生挤压作用 B.内侧铁轨与轮缘间产生挤压作用 C.内、外侧铁轨与轮缘均有挤压作用 D.内、外侧铁轨与轮缘均无挤压作用 【解析】 当火车转弯时若对轮缘无挤压,则火车只受重力和铁轨的支持力如图,由牛顿第二定律得:mgtan,此时有v=当火车转弯速度小于时,所需的向心力减小,所以导致内轨对火车内侧车轮轮缘有水平向左的压力,B选项正确. 【答案】 B . 11.如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动,则下列说法正确的是(  ) A.小物块所受合外力指向O点 B.当转动角速度ω=时,小物块受摩擦力可能沿AO方向,也可能背离AO方向 C.当转动角速度ω> 时,小物块受摩擦力沿AO方向 D.当转动角速度ω< 时,小物块受摩擦力沿AO方向 解析:匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力,指向物体圆周运动轨迹的圆心,A项错;
当小物块在A点随圆锥筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,小物块在筒壁A点时受到重力和支持力的作用,它们的合力提供向心力,设筒转动的角速度为ω,有:mgtan θ=mω2·,由几何关系得:tan θ=,联立以上各式解得ω=,B项错误;
当角速度变大时,小物块所需向心力增大,故摩擦力沿AO方向,其水平方向分力提供部分向心力,C项正确;
当角速度变小时,小物块所需向心力减小,故摩擦力沿OA方向,抵消部分支持力的水平分力,D项错. 答案:
C 12.如图所示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块Q上,Q放在带小孔的水平桌面上.小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出),两次金属块Q都保持在桌面上静止.则后一种情况与原来相比较,下面的判断中正确的是 …( ) A.Q受到桌面的支持力变大 B.Q受到桌面的静摩擦力变小 C.小球P运动的角速度变大 D.小球P运动的周期变大 【解析】 小球受力分析如图,竖直方向有,Tcosmg,水平方向有Tsinsintan.当小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时,即变大,则角速度变大,选项C对D错;竖直方向上仍有T′cos而Q受到桌面的支持力′cos选项A错误;Q受到桌面的静摩擦力f=T′sinsin随变大而增大,选项B错误. 【答案】 C 13.当汽车通过拱桥顶点的速度为5 m/s时,车对桥顶的压力为车重的3/4,如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时,不受摩擦力作用,则汽车通过桥顶的速度应为多少? 【解析】 设拱桥的半径为r,速度为5 m/s时,根据牛顿第二定律和向心力公式,对车有/r,N=3mg/4.车不受摩擦力,即车对桥的压力为零,有/r.解以上各式得 m/s. 题型3:离心运动 (1)当F=mrω2时,物体做匀速圆周运动;

(2)当F=0时,物体沿切线方向飞出;

(3)当F<mrω2时,物体逐渐远离圆心,F为实际提供的向心力.如图所示. 向心运动,当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时,即F>mrω2,物体渐渐向圆心靠近.如图所示. 14. 如图是摩托车比赛转弯时的情形,转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动.对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是(  ) A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去 D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 解析:本题考查圆周运动的规律和离心现象.摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,A项错误;
摩托车正确转弯时可看作是做匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明提供的向心力即合力小于需要的向心力,B项正确;
摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动,C、D项错误. 答案:B 15.中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故. 家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面,第八次有辆卡车冲进李先生家,造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案.经公安部门和交通部门协力调查,画出的现场示意图如图4-2-12所示.交警根据图示作出以下判断,你认为正确的是(  ) ①.由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 ②.由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 ③.公路在设计上可能内(东)高外(西)低 ④.公路在设计上可能外(西)高内(东)低 A.①④正确 B.②③正确 C.①③正确 D.②④正确 解析:由题图可知发生事故时,卡车在做圆周运动,从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动,故选项①正确,选项②错误;
如果外侧高,卡车所受重力和支持力提供向心力,则卡车不会做离心运动,也不会发生事故,故选项③正确. 答案:
C 题型4:竖直平面内的圆周运动中的临界问题 16.长L=0.5 m质量可忽略的细杆,其一端可绕O点在竖直平面内转动,另一端固定着一个物体A.A的质量为m=2 kg,当A通过最高点时, 如图4-3-3所示,求在下列两种情况下杆对小球的力:
(1)A在最低点的速率为m/s;

(2)A在最低点的速度为6 m/s. 解析:对物体A由最低点到最高点过程,机械能守恒. 即 ① 假设细杆对A的弹力F向下,则A的受力图如右图所示. 以A为研究对象,在最高点有mg+F= 所以F= (1)当v0=m/s时,由①式得v=1 m/s. F=2×( -10)N=-16 N, 负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反,即杆给A向上的16 N的支撑力. (2)当v0=6 m/s时,由①式得v=4 m/s. F=2×( -10)N=44 N 正值说明杆对A施加的是向下的44 N的拉力. 答案:(1)16 N 向上 (2)44 N 向下 在例1中若把细杆换成细绳,则在(1)(2)两种情况下小球能通过最高点吗? 若能,此时细绳对小球的拉力为多少? 答案:(1)v0= m/s时不能 (2)v0=6 m/s时能 44 N 由于两种模型过最高点的临界条件不同,所以在分析问题时首先明确是哪种模型,然后再利用条件讨论. 17.m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点),A为终端皮带轮,如图4-3-7所示,已知皮带轮半径为 r,传送带与皮带轮间不会打滑,当m可被水平抛出时,A轮每秒的转数最少是(  ) A. B. C. D. 解析:当m被水平抛出时只受重力的作用,支持力N=0.在圆周最高点,重力提供向心力,即mg=,所以v=.而v=2πf·r,所以f== ,所以每秒的转数最小为 ,A正确. 答案:A 18.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是(  ) A.小球通过最高点时的最小速度vmin= B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力 解析:小球沿管上升到最高点的速度可以为零,故A错误,B正确;
小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即:N-Fmg=m,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧壁无作用力,C错误;
小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,D错误. 答案:B 19.如图所示,一轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时,由于球对杆有作用,使杆发生了微小形变,关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系,正确的是( ) A.形变量越大,速度一定越大 B.形变量越大,速度一定越小 C.形变量为零,速度一定不为零 D.速度为零,可能无形变 【解析】 杆的形变量可能是伸长量,也可能是压缩量.如果伸长量越大,即杆对球向下的拉力越大,则小球的速度越大;如果压缩量越大,即杆对球向上的支持力越大,则小球的速度越小,选项A、B错误;如果杆的形变量为零,即杆对球没有力作用,则小球的重力提供向心力,速度不为零,选项D错误. 【答案】 C 20.如图所示,从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块,滑出槽口时速度方向为水平方向,槽口与一个半球顶点相切,半球底面为水平,若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑,已知圆弧轨道的半径为半球的半径为则和应满足的关系是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 小物块滑到槽口时,若对球面没有压力即重力不大于向心力时,则其滑出槽口后不沿半球面下滑.根据机械能守恒可得小物块滑到槽口时的速度为v,有/2.在槽口有/解得. 【答案】 D 21.如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管道竖直放置,质量为m的小球以某一速度进入管内,小球通过最高点P时,对管壁的压力为0.5mg.求:
(1)小球从管口飞出时的速率;

(2)小球落地点到P点的水平距离. 解析:(1)分两种情况,当小球对管下部有压力时,则有mg-0.5mg=,v1=.当小球对管上部有压力时,则有mg+0.5mg=,v2= (2)小球从管口飞出做平抛运动,2R=gt2,t=2 ,S1=v1t=R,Sx2=v2t=R. 答案:(1) 或  (2)R或R 题型5:匀速圆周运动中的临界问题 22.用一根细绳,一端系住一个质量为m的小球,另一端悬在光滑水平桌面 上方h处,绳长l大于h,使小球在桌面上做匀速圆周运动.求若使小球不离开桌面,其转速最大值是(  ) A. B. C. D. 解析:以小球为研究对象,小球受三个力的作用:重力G、水平面支持力FN、绳子拉力F.在竖直方向合力为零,在水平方向合力为所需向心力,绳与竖直方向夹角为θ,则R=htan θ,Fcos θ+N=mg Fsin θ=mω2R=m4π2n2htan θ 当球即将离开水平面时N=0,转速n有最大值,即 mg=,nmax= 答案:A 23.如图所示,物块在水平圆盘上,与圆盘一起绕固定轴飞速转动,下列说法中正确的是(  ) A.物块处于平衡状态 B.物块受三个力作用 C.在角速度一定时,物块到转轴的距离越远,物块越不容易脱离圆盘 D.在物块到转轴距离一定时,物块运动周期越小,越不容易脱离圆盘 解析:对物块受力分析可知,物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用,合力提供向心力,A错,B正确.根据向心力公式F=mrω2可知,当ω一定时,半径越大,所需的向心力越大,越容易脱离圆盘;
根据向心力公式F=mr2可知,当物块到转轴距离一定时,周期越小,所需向心力越大,越容易脱离圆盘,C、D错误. 答案:B